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楼主，你好

你要说的其实是一个数学建模的问题。下面我就替分析一下，数学建模的常用模型以及

一般步骤和相关内容摘要

数学作为现代科学的一种工具和手段，要了解什么是数学模型和数学建模，了解数学建模一般方法及步骤。

关键词

数学模型、数学建模、实际问题

伴随着当今社会的科学技术的飞速发展，数学已经渗透到各个领域，数学建模也显得尤为重要。数学建模在人们生活中扮演着重要的角色，而且随着计算机技术的发展，数学建模更是在人类的活动中起着重要作用，数学建模也更好的为人类服务。

一、数学模型

数学模型是对于现实世界的一个特定对象一个特定目的根据特有的内在规律做出一些必要的假设运用适当的数学工具得到一个数学结构

简单地说就是系统的某种特征的本质的数学表达式或是用数学术语对部分现实世界的描述即用数学式子如函数图形代数方程微分方程积分方程差分方程等来描述表述模拟所研究的客观对象或系统在某一方面的存在规律

随着社会的发展生物医学社会经济……各学科各行业都涌现现出大量的实际课题急待人们去研究去解决但是社会对数学的需求并不只是需要数学家和专门从事数学研究的人才而更大量的是需要在各部门中从事实际工作的人善于运用数学知识及数学的思维方法来解决他们每天面临的大量的实际问题取得经济效益和社会效益他们不是为了应用数学知识而寻找实际问题就像在学校里做数学应用题而是为了解决实际问题而需要用到数学而且不止是要用到数学很可能还要用到别的学科领域的知识要用到工作经验和常识特别是在现代社会要真正解决一个实际问题几乎都离不开计算机可以这样说在实际工作中遇到的问题完全纯粹的只用现成的数学知识就能解决的问题几乎是没有的你所能遇到的都是数学和其他东西混杂在一起的问题不是"干净的"数学而是"脏"的数学其中的数学奥妙不是明摆在那里等着你去解决而是暗藏在深处等着你去发现也就是说你要对复杂的实际问题进行分析发现其中的可以用数学语言来描述的关系或规律把这个实际问题化成一个数学问题这就称为数学模型。

数学模型具有下列特征数学模型的一个重要特征是高度的抽象性通过数学模型能够将形象思维转化为抽象思维从而可以突破实际系统的约束运用已有的数学研究成果对研究对象进行深入的研究数学模型的另一个特征是经济性用数学模型研究不需要过多的专用设备和工具可以节省大量的设备运行和维护费用用数学模型可以大大加快研究工作的进度缩短研究周期特别是在电子计算机得到广泛应用的今天这个优越性就更为突出但是数学模型具有局限性在简化和抽象过程中必然造成某些失真所谓"模型就是模型"而不是原型即是指该性质

二、数学建模

数学建模是利用数学方法解决实际问题的一种实践即通过抽象简化假设引进变量等处理过程后将实际问题用数学方式表达建立起数学模型然后运用先进的数学方法及计算机技术进行求解简而言之建立数学模型的这个过程就称为数学建模

模型是客观实体有关属性的模拟陈列在橱窗中的飞机模型外形应当象真正的飞机至于它是否真的能飞则无关紧要然而参加航模比赛的飞机模型则全然不同如果飞行性能不佳外形再象飞机也不能算是一个好的模型模型不一定是对实体的一种仿照也可以是对实体的某些基本属性的抽象例如一张地质图并不需要用实物来模拟它可以用抽象的符号文字和数字来反映出该地区的地质结构数学模型也是一种模拟是用数学符号数学式子程序图形等对实际课题本质属性的抽象而又简洁的刻划它或能解释某些客观现象或能预测未来的发展规律或能为控制某一现象的发展提供某种意义下的最优策略或较好策略数学模型一般并非现实问题的直接翻版它的建立常常既需要人们对现实问题深入细微的观察和分析又需要人们灵活巧妙地利用各种数学知识这种应用知识从实际课题中抽象提炼出数学模型的过程就称为数学建模实际问题中有许多因素在建立数学模型时你不可能也没有必要把它们毫无遗漏地全部加以考虑只能考虑其中的最主要的因素舍弃其中的次要因素数学模型建立起来了实际问题化成了数学问题就可以用数学工具数学方法去解答这个实际问题如果有现成的数学工具当然好如果没有现成的数学工具就促使数学家们寻找和发展出新的数学工具去解决它这又推动了数学本身的发展例如开普勒由行星运行的观测数据总结出开普勒三定律牛顿试图用自己发现的力学定律去解释它但当时已有的数学工具是不够用的这促使了微积分的发明求解数学模型除了用到数学推理以外通常还要处理大量数据进行大量计算这在电子计算机发明之前是很难实现的因此很多数学模型尽管从数学理论上解决了但由于计算量太大而没法得到有用的结果还是只有束之高阁而电子计算机的出现和迅速发展给用数学模型解决实际问题打开了广阔的道路而在现在要真正解决一个实际问题离了计算机几乎是不行的数学模型建立起来了也用数学方法或数值方法求出了解答是不是就万事大吉了呢不是既然数学模型只能近似地反映实际问题中的关系和规律到底反映得好不好还需要接受检验如果数学模型建立得不好没有正确地描述所给的实际问题数学解答再正确也是没有用的因此在得出数学解答之后还要让所得的结论接受实际的检验看它是否合理是否可行等等如果不符合实际还应设法找出原因修改原来的模型重新求解和检验直到比较合理可行才能算是得到了一个解答可以先付诸实施但是十全十美的答案是没有的已得到的解答仍有改进的余地可以根据实际情况或者继续研究和改进或者暂时告一段落待将来有新的情况和要求后再作改进。

应用数学知识去研究和和解决实际问题遇到的第一项工作就是建立恰当的数学模型从这一意义上讲可以说数学建模是一切科学研究的基础没有一个较好的数学模型就不可能得到较好的研究结果所以建立一个较好的数学模型乃是解决实际问题的关键之一数学建模将各种知识综合应用于解决实际问题中是培养和提高同学们应用所学知识分析问题解决问题的能力的必备手段之一

三、数学建模的一般方法

建立数学模型的方法并没有一定的模式但一个理想的模型应能反映系统的全部重要特征模型的可靠性和模型的使用性

建模的一般方法

1机理分析

机理分析就是根据对现实对象特性的认识分析其因果关系找出反映内部机理的规律所建立的模型常有明确的物理或现实意义

1比例分析法建立变量之间函数关系的最基本最常用的方法

2代数方法求解离散问题离散的数据符号图形的主要方法

3逻辑方法是数学理论研究的重要方法对社会学和经济学等领域的实际

问题在决策对策等学科中得到广泛应用

4常微分方程解决两个变量之间的变化规律关键是建立"瞬时变化率"

的表达式

5偏微分方程解决因变量与两个以上自变量之间的变化规律

2测试分析方法

测试分析方法就是将研究对象视为一个"黑箱"系统内部机理无法直接寻求通过测量系统的输入输出数据并以此为基础运用统计分析方法按照事先确定的准则在某一类模型中选出一个数据拟合得最好的模型

1回归分析法用于对函数fx的一组观测值12…n确定函数的表达式由于处理的是静态的独立数据故称为数理统计方法

2时序分析法处理的是动态的相关数据又称为过程统计方法

3回归分析法用于对函数fx的一组观测值12…n确定函数的表达式由于处理的是静态的独立数据故称为数理统计方法

4时序分析法处理的是动态的相关数据又称为过程统计方法

将这两种方法结合起来使用即用机理分析方法建立模型的结构用系统测试方法来确定模型的参数也是常用的建模方法在实际过程中用那一种方法建模主要是根据我们对研究对象的了解程度和建模目的来决定机理分析法建模的具体步骤大致可见左图

3仿真和其他方法

1计算机仿真模拟实质上是统计估计方法等效于抽样试验

①离散系统仿真有一组状态变量

②连续系统仿真有解析表达式或系统结构图

2因子试验法在系统上作局部试验再根据试验结果进行不断分析修改求得所需的模型结构

3人工现实法基于对系统过去行为的了解和对未来希望达到的目标并考虑到系统有关因素的可能变化人为地组成一个系统参见齐欢《数学模型方法》华中理工大学出版社

四、数学模型的分类

数学模型可以按照不同的方式分类下面介绍常用的几种

1按照模型的应用领域或所属学科分如人口模型交通模型环境模型生态模型城镇规划模型水资源模型再生资源利用模型污染模型等范畴更大一些则形成许多边缘学科如生物数学医学数学地质数学数量经济学数学社会学等

2按照建立模型的数学方法或所属数学分支分如初等数学模型几何模型微分方程模型图论模型马氏链模型规划论模型等

按第一种方法分类的数学模型教科书中着重于某一专门领域中用不同方法建立模型而按第二种方法分类的书里是用属于不同领域的现成的数学模型来解释某种数学技巧的应用在本书中我们重点放在如何应用读者已具备的基本数学知识在各个不同领域中建模

3按照模型的表现特性又有几种分法

确定性模型和随机性模型取决于是否考虑随机因素的影响近年来随着数学的发展又有所谓突变性模型和模糊性模型

静态模型和动态模型取决于是否考虑时间因素引起的变化

线性模型和非线性模型取决于模型的基本关系如微分方程是否是线性的

离散模型和连续模型指模型中的变量主要是时间变量取为离散还是连续的

虽然从本质上讲大多数实际问题是随机性的动态的非线性的但是由于确定性静态线性模型容易处理并且往往可以作为初步的近似来解决问题所以建模时常先考虑确定性静态线性模型连续模型便于利用微积分方法求解作理论分析而离散模型便于在计算机上作数值计算所以用哪种模型要看具体问题而定在具体的建模过程中将连续模型离散化或将离散变量视作连续也是常采用的方法

4按照建模目的分有描述模型分析模型预报模型优化模型决策模型控制模型等

5按照对模型结构的了解程度分有所谓白箱模型灰箱模型黑箱模型这是把研究对象比喻成一只箱子里的机关要通过建模来揭示它的奥妙白箱主要包括用力学热学电学等一些机理相当清楚的学科描述的现象以及相应的工程技术问题这方面的模型大多已经基本确定还需深入研究的主要是优化设计和控制等问题了灰箱主要指生态气象经济交通等领域中机理尚不十分清楚的现象在建立和改善模型方面都还不同程度地有许多工作要做至于黑箱则主要指生命科学和社会科学等领域中一些机理数量关系方面很不清楚的现象有些工程技术问题虽然主要基于物理化学原理但由于因素众多关系复杂和观测困难等原因也常作为灰箱或黑箱模型处理当然白灰黑之间并没有明显的界限而且随着科学技术的发展箱子的"颜色"必然是逐渐由暗变亮的。

五、数学建模的一般步骤

建模的步骤一般分为下列几步

1模型准备首先要了解问题的实际背景明确题目的要求搜集各种必要的信息

2模型假设在明确建模目的掌握必要资料的基础上通过对资料的分析计算找出起主要作用的因素经必要的精炼简化提出若干符合客观实际的假设使问题的主要特征凸现出来忽略问题的次要方面一般地说一个实际问题不经过简化假设就很难翻译成数学问题即使可能也很难求解不同的简化假设会得到不同的模型假设作得不合理或过份简单会导致模型失败或部分失败于是应该修改和补充假设假设作得过分详细试图把复杂对象的各方面因素都考虑进去可能使你很难甚至无法继续下一步的工作通常作假设的依据一是出于对问题内在规律的认识二是来自对数据或现象的分析也可以是二者的综合作假设时既要运用与问题相关的物理化学生物经济等方面的知识又要充分发挥想象力洞察力和判断力善于辨别问题的主次果断地抓住主要因素舍弃次要因素尽量将问题线性化均匀化经验在这里也常起重要作用写出假设时语言要精确就象做习题时写出已知条件那样。

3模型构成根据所作的假设以及事物之间的联系利用适当的数学工具去刻划各变量之间的关系建立相应的数学结构――即建立数学模型把问题化为数学问题要注意尽量采取简单的数学工具因为简单的数学模型往往更能反映事物的本质而且也容易使更多的人掌握和使用

4模型求解利用已知的数学方法来求解上一步所得到的数学问题这时往往还要作出进一步的简化或假设在难以得出解析解时也应当借助计算机求出数值解

5模型分析对模型解答进行数学上的分析有时要根据问题的性质分析变量间的依赖关系或稳定状况有时是根据所得结果给出数学上的预报有时则可能要给出数学上的最优决策或控制不论哪种情况还常常需要进行误差分析模型对数据的稳定性或灵敏性分析等

6模型检验分析所得结果的实际意义与实际情况进行比较看是否符合实际如果结果不够理想应该修改补充假设或重新建模有些模型需要经过几次反复不断完善

7模型应用所建立的模型必须在实际中应用才能产生效益在应用中不断改进和完善应用的方式自然取决于问题的性质和建模的目的

说了这么多，希望对你能有所启发作用。

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简介：粉象贸易（上海）成立于年06月25日，主要经营范围为批发非实物方式：预包装食品（不含熟食卤味、冷冻冷藏，含酒），从事货物及技术的进出口业务等。

法定代表人：简海云

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